Inversion d'un complexe non nul

Proposition et définition

Soit  \(z=x+iy\) un nombre complexe non nul avec `x`  et `y`  des réels .

Alors  `z` admet un unique inverse, noté \(\dfrac{1}{z}\) , et sa forme algébrique est : \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{x}{x^2+y^2}+i\dfrac{-y}{x^2+y^2}=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}\) .

Démonstration

Comme \(z \neq 0\) ,  on en déduit, par unicité de la forme algébrique, que  \(x \neq 0\) ou \(y \neq 0\) .

Par conséquent, \(x^2+y^2 \neq 0\) , car  \(x^2\) ou   `y^2`   n'est pas égal à 0.

D'après la propriété précédente, on a alors : 
\((x+iy)(x-iy)=x^2+y^2 \Longleftrightarrow (x+iy) \times \dfrac{x-iy}{x^2+y^2}=1 \Longleftrightarrow \ \ z \times \left(\dfrac{x}{x^2+y^2}+i\dfrac{-y}{x^2+y^2}\right)=1\) .

Par définition d'un inverse, on en déduit que  `z`  (non nul) admet un inverse égal à `\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}+i\frac{-y}{x^2+y^2}` .

L'unicité de l'inverse provient de l'unicité de la forme algébrique.

Remarque

Pour tout nombre complexe non nul  \(z\) et pour tout nombre complexe `z'` , on peut définir le quotient \(\dfrac{z'}{z}\) comme : \(\dfrac{z'}{z}=z' \times \dfrac{1}{z}\) .